證明:设$x\in(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})\bigcap(\bigcup_{\beta\in J}B_{\beta})$,则$x\in(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})$且$x\in\bigcup_{\beta\in J}B_{\beta}$.即$\exists\alpha\in I$,使得$x\in A_{\alpha}$且$\exists\beta\in J$,使得$x\in B_{\beta}$.即$x\in\bigcup_{(\alpha,\beta)\in I\times J}(A_{\alpha}\bigcap B_{\beta})$.逆推仍成立，故命题成立.